合同と相似：形と大きさで見分ける
合同は、形も大きさも同じで、動かすとぴったり重なる図形（記号 ≡）。相似は、形は同じで大きさがちがう、拡大・縮小した図形（記号 ∽）です。相似では、対応する角はすべて等しく、対応する辺の比は一定でこれを 相似比といいます。
このページで学べること
- 合同と相似のちがいがわかる
- 対応する辺・角の見つけ方がわかる
- 相似比を使って辺の長さを求められる
- 相似比と面積比の関係がわかる
前提知識
合同・相似の基本
合同な図形は、対応する辺の長さも、対応する角の大きさもすべて等しくなります。相似な図形は、対応する角は等しいまま、対応する辺の長さが一定の比（相似比）で拡大・縮小されています。
- 対応する角はすべて等しい
- 対応する辺の比（相似比）は一定
- 面積の比は相似比の2乗（相似比 a：b → 面積比 a²：b²）
「対応する」とは、同じ位置にある辺どうし・角どうしのこと。どの辺とどの辺が対応するかを、はじめに正しく見つけるのが大切です。
相似比が 1：2 の正方形で考えます。小さいほうの1辺が1cmなら大きいほうは2cm。面積は 1 × 1 ＝ 1 と 2 × 2 ＝ 4 で、面積比は 1：4 ＝ 1²：2² になります。
面積はたてとよこの2方向で決まるので、辺が2倍になれば「たてで2倍・よこでも2倍」となり、合わせて4倍です。だから面積比は相似比の2乗。同じ理由で、体積は3方向あるので相似比の3乗になります（1：2 なら 1：8）。
図でイメージする
拡大（相似比 2：3）
例題（くわしい手順）
例題1：相似比から辺の長さを求める
相似比が 2：3 の2つの三角形で、小さい方の辺が 6cm のとき、対応する大きい方の辺の長さを求めます。
- 相似比を確認：小：大＝2：3。
- 比で立式：6 : □ ＝ 2 : 3 なので □＝6×(3÷2)。
- 6×1.5＝9。大きい方の辺は 9cm。
- 確かめる：6 : 9 の両方を3でわると 2 : 3 となり、相似比に戻ります。
対応する辺どうしで比をつくるのがポイント。相似比を「何倍か」に直すと計算が楽です。
例題2：相似比から面積を求める
相似比が 2：5 の2つの図形があります。面積比を求めなさい。また、小さいほうの面積が 12cm² のとき、大きいほうの面積を求めなさい。
- 面積比は相似比の2乗：2 × 2 ＝ 4、5 × 5 ＝ 25 なので 4：25。
- 1つ分を出す：小さいほうの 12cm² が「4」にあたるので、1にあたるのは 12 ÷ 4 ＝ 3（cm²）。
- 大きいほうを出す：3 × 25 ＝ 75（cm²）
- 確かめる：12 : 75 の両方を3でわると 4 : 25 で、面積比に戻ります。
相似比 a：b なら、面積比は a²：b²、体積比は a³：b³。長さの比のまま面積に使ってしまうのがいちばん多い誤りです。
合同と相似の違い
| 用語 | 形 | 大きさ | 記号 |
|---|---|---|---|
| 合同 | 同じ | 同じ（ぴったり重なる） | ≡ |
| 相似 | 同じ | ちがう（拡大・縮小） | ∽ |
合同は相似の特別な場合（相似比が1：1）とも言えます。どちらも対応する角は等しくなります。
よくある間違い
相似でも対応する角はすべて等しいです。変わるのは辺の長さ（一定の比で拡大・縮小）だけ。
相似比 2：3 のとき面積比は 2²：3²＝4：9。長さの比と面積の比は別物です。
拡大・縮小で向きが変わっても、同じ位置の辺どうしが対応します。頂点の対応を先に確かめましょう。
練習問題
まず自分で解いてから解説を開きましょう。
相似比が3：5の三角形で、小さい方の辺が9cmのとき、対応する大きい方の辺は？
解答・解説を見る
答え：15cm
9×(5÷3)＝9×5/3＝15cm。
対応する辺の比は、相似比と同じになります。9＋2＝11cm のようにたし算で考えないこと。比はかけ算・わり算で扱います。
つまずいたら → 「対応する辺どうしで比をつくる」（本ページ 例題1）に戻りましょう。
合同な三角形で対応する辺の長さは等しいですか。
解答・解説を見る
相似比が2：1の2つの図形の面積比を求めなさい。
解答・解説を見る
答え：4：1
面積比は相似比の2乗。2²：1²＝4：1。
長さが2倍なら面積は2×2＝4倍。面積比は相似比の2乗です。2：1 をそのまま答えないよう注意しましょう。
つまずいたら → 「面積比は相似比の2乗」（本ページ 例題2）に戻りましょう。
相似比が1：4のとき、面積比を求めなさい。
解答・解説を見る
答え：1：16
1²：4²＝1：16。
面積比は相似比の2乗なので、1：4 ではなく 1：16 になります。ちなみに体積比は3乗（1：64）です。
つまずいたら → 「1：4 なら面積比は 1：16」（本ページ よくある間違い②）に戻りましょう。
よくある質問
Q. 合同と相似のちがいは？
合同は形も大きさも同じで、ぴったり重なる図形です。相似は形は同じでも大きさがちがう（拡大・縮小した）図形です。
Q. 相似比が2：3のとき面積比は？
面積比は相似比の2乗になり、2²：3²＝4：9 です。長さの比と面積の比は同じではない点に注意します。
Q. 三角形の合同条件は何ですか？
「3辺が等しい」「2辺とその間の角が等しい」「1辺とその両端の角が等しい」の3つです。どれか1つが成り立てば合同といえます。
Q. 影の長さから木の高さが分かるのはなぜですか？
同じ時刻なら太陽の角度が同じで、木と棒が作る直角三角形が相似になるからです。1mの棒の影が0.8mなら、影6mの木は 6÷0.8＝7.5m です。
次に学ぶ内容
小学校算数〜中学数学の範囲を参照し、オリジナルに作成（実在試験問題の転載はありません）。正確性は編集方針にそって確認しています。