場合の数：並べ方と組み合わせ
場合の数は、起こりうるパターンの総数。順番を区別する「並べ方」はかけ算で、順番を区別しない「組み合わせ」は重複を割って求めます。数えもれは樹形図で防げます。
このページで学べること
- 場合の数を、もれなく重なりなく数えられる
- 並べ方（順列）をかけ算で求められる
- 組み合わせとのちがいがわかる
前提知識
数え方の基本
- 樹形図：選ぶ順に枝を伸ばして、全パターンを図にする。もれ・重なりを防げます。
- 積の法則：段階が続くとき、各段階の選び方の数をかけ算する。
- 並べ方（順列）：順番を区別する。4人から2人選んで並べる＝4×3＝12通り。
- 組み合わせ：順番を区別しない。選ぶだけなので、並べ方から重複を割ります。
3人から2人を「選んで並べる」は 3×2＝6通り。ただ「選ぶだけ」なら、AB と BA は同じ組なので 2 で割って 6÷2＝3通りです。
3人（A・B・C）から2人を「選んで並べる」と、AB・BA・AC・CA・BC・CB の 3 × 2 ＝ 6 通りです。
ところが「選ぶだけ」なら AB と BA は同じ組。6通りの中では、どの組も2回ずつ数えられていることになります。だから 6 ÷ 2 ＝ 3 通り。わり算は「同じものを何回ずつ数えたか」で割っているだけです。3人を選ぶ場合なら、3人の並べ方 3 × 2 × 1 ＝ 6通りずつ重複するので6で割ります。順番を区別するかどうかが、かけ算で終わるか割り算まで進むかの分かれ目です。
図でイメージする（A・B・Cから2人並べる）
- 1人目
- A
- → AB
- → AC
- B
- → BA
- → BC
- C
- → CA
- → CB
- A
例題（くわしい手順）
例題1：並べ方（順列）を求める
1, 2, 3 の3枚のカードを並べて3けたの整数を作ります。何通りできますか。
- 百の位：3枚から1枚で 3通り。
- 十の位：残り2枚で 2通り。
- 一の位：残り1枚で 1通り。かけて 3×2×1＝6通り。
- 確かめる：実際に書き出すと 123・132・213・231・312・321 の6通り。計算と一致します。
「並べ方」は、位ごとに選べる数をかけていきます（積の法則）。
例題2：組み合わせ（選ぶだけ）を求める
A・B・C・D の 4人から2人を選びます（順番は区別しません）。何通りですか。
- まず並べ方で数える：4人から2人を選んで並べると 4 × 3 ＝ 12 通り。
- 重複の数を数える：2人の並べ方は AB・BA の 2通り。つまり同じ組を2回ずつ数えています。
- 割る：12 ÷ 2 ＝ 6 通りです。
- 確かめる：AB・AC・AD・BC・BD・CD と書き出すと、たしかに6通りあります。
「班長と副班長を選ぶ」は役割がちがうので並べ方、「代表2人を選ぶ」は区別しないので組み合わせ。順番に意味があるかどうかを問題文から読み取るのが第一歩です。
順列（並べ方）と組み合わせ（選び方）の違い
| 用語 | 順序 | 例（A,B,Cから2つ） | 数 |
|---|---|---|---|
| 順列（並べ方） | 区別する | AB と BA は別 | 6通り |
| 組み合わせ（選び方） | 区別しない | AB と BA は同じ | 3通り |
「並べる」なら順列、「選ぶ・組にする」なら組み合わせ。順序を区別するかどうかが分かれ目です。
よくある間違い
「順番が関係あるか」で決まります。班長と副班長＝並べ方（順番あり）、ただの2人組＝組み合わせ（順番なし）です。
選ぶだけのときは、AB と BA を同じと数えます。並べ方を求めたあと重複の数で割るのを忘れずに。
同じ人を2回選ばない、枝を飛ばさない。順序よく枝を伸ばすと、もれと重なりを防げます。
練習問題
まず自分で解いてから解説を開きましょう。
A・B・C・Dの4人から、班長1人・副班長1人を選びます。選び方は何通りですか。
解答・解説を見る
答え：12通り
班長は4人から1人（4通り）、副班長は残り3人から1人（3通り）。
積の法則で 4×3＝12通り（順番を区別する並べ方）。
つまずいたら → 「役割がちがうなら並べ方（かけ算）」（本ページ 例題1）に戻りましょう。
A・B・Cの3人から2人を選びます（順番は区別しない）。選び方は何通りですか。
解答・解説を見る
答え：3通り
AB・AC・BC の 3通り。
並べ方 3×2＝6通りから、AB と BA など重複を2で割って 6÷2＝3通り、とも求められます。
つまずいたら → 「選ぶだけなら重複を割る」（本ページ 例題2）に戻りましょう。
5人から2人を選んで1列に並べます。並べ方は何通りですか。
解答・解説を見る
答え：20通り
1人目は5通り、2人目は残り4通り。5×4＝20通り。
「並べる（順番あり）」なのでかけ算のまま。割りません。
つまずいたら → 「選んで並べるのは順に選べる数をかける」（本ページ 例題1）に戻りましょう。
4人から2人を選んで1列に並べる方法は何通りですか。
解答・解説を見る
答え：12通り
1人目は4通り、2人目は残り3通り。4×3＝12通り。
順番をつけて選ぶ（並べる）ので、選ぶたびに残りが1つ減ります。4×4＝16 としないよう注意。組み合わせ（順番を区別しない）なら6通りです。
つまずいたら → 「順番に意味があるかを読み取る」（本ページ 例題2）に戻りましょう。
よくある質問
Q. 並べ方と組み合わせのちがいは？
並べ方（順列）は順番を区別します。組み合わせは順番を区別しません。4人から2人を選んで並べるなら 4×3＝12通り、ただ2人を選ぶだけなら重複を除いて 6通りです。
Q. 場合の数はどう数えると確実？
樹形図で枝を順に伸ばすと、もれなく重なりなく数えられます。段階が分かれるときは、各段階の数をかけ算する（積の法則）と速く求められます。
Q. 3人から2人を選ぶのは何通りですか？
順番を区別しないので 3×2÷2＝3通りです。班長と副班長のように順番を区別するなら 3×2＝6通りになります。
Q. 樹形図はいつ使えばよいですか？
数が少ないときや条件が複雑なときです。「同じものは2回使わない」「偶数で終わる」などの条件があると、かけ算だけでは数えにくいので樹形図が確実です。
次に学ぶ内容
小学校算数〜中学数学の範囲を参照し、オリジナルに作成（実在試験問題の転載はありません）。正確性は編集方針にそって確認しています。