比例と反比例：y＝a×x と y＝a÷x
比例は y＝a×x（x が2倍なら y も2倍）。反比例は y＝a÷x（x が2倍なら y は半分、x×y の積が一定）。この a を比例定数といいます。
このページで学べること
- 比例・反比例の式が書ける
- 比例定数 a を求められる
- 比例と反比例を見分けられる／グラフの形がわかる
前提知識
比例と反比例のちがい
| 比例 | 反比例 | |
|---|---|---|
| 式 | y ＝ a × x | y ＝ a ÷ x |
| xが2倍になると | yも2倍 | yは1/2倍 |
| 一定になるもの | y ÷ x（＝a） | x × y（＝a） |
| グラフ | 原点を通る直線 | 双曲線（なめらかな曲線） |
| 比例定数 a | a ＝ y ÷ x | a ＝ x × y |
対応する x と y で、わり算 y÷x がいつも同じなら比例、かけ算 x×y がいつも同じなら反比例です。
比例は y ＝ a × x という形なので、両辺を x でわると y ÷ x ＝ a。x がいくつであっても y ÷ x はいつも同じ数 a になります。だから表を見て「y÷x が一定かどうか」で比例を見分けられます。
反比例は y ＝ a ÷ x なので、両辺に x をかけると x × y ＝ a。こちらはかけ算が一定です。x が2倍になれば y は半分になり、積は変わりません。どちらも式を変形しただけなので、覚えるのは「比例はわり算、反比例はかけ算」の1点で足ります。
グラフでイメージする
例題（くわしい手順）
例題1：比例の式を求める
y は x に比例し、x＝2 のとき y＝6。y を x の式で表します。
- 比例の式：y＝ax（a は比例定数）。
- a を求める：6＝a×2 → a＝3。
- 式は y＝3x。
- 確かめる：x＝2 を y＝3x に入れると 3 × 2 ＝ 6 となり、問題の y＝6 に戻ります。
比例は y＝ax、反比例は y＝a÷x。まず形を決めて、分かっている値から a を求めます。
例題2：反比例の式を求める
y は x に反比例し、x＝3 のとき y＝8 です。y を x の式で表し、x＝6 のときの y を求めなさい。
- 形を決める：反比例なので y ＝ a ÷ x の形です。
- a を求める：反比例では x × y が比例定数なので 3 × 8 ＝ 24。式は y ＝ 24 ÷ x。
- あてはめる：24 ÷ 6 ＝ 4 なので y ＝ 4。
- 確かめる：x が 3 → 6 と2倍になり、y は 8 → 4 と半分。積はどちらも24で変わりません。
比例定数の出し方が、比例は y ÷ x、反比例は x × y と逆になります。ここを取りちがえるのがいちばん多い誤りです。
よくある間違い
「一方が増えれば他方も増える」＝比例、「一方が増えれば他方は減る（積が一定）」＝反比例。表で y÷x と x×y のどちらが一定かを確かめましょう。
比例は a＝y÷x、反比例は a＝x×y。求め方が逆です。
反比例は「xが増えたぶんだけyが減る」ではありません。かけ算（x×y）が一定になる関係です。
練習問題
まず自分で解いてから解説を開きましょう。
y は x に比例し、x ＝ 2 のとき y ＝ 6 です。比例定数 a と、x ＝ 5 のときの y を求めなさい。
解答・解説を見る
答え：a ＝ 3、x＝5 のとき y ＝ 15
a ＝ y ÷ x ＝ 6 ÷ 2 ＝ 3。式は y ＝ 3×x。
x ＝ 5 を入れて y ＝ 3×5 ＝ 15。
つまずいたら → 「比例定数は y÷x」（本ページ 例題1）に戻りましょう。
y は x に反比例し、x ＝ 3 のとき y ＝ 4 です。比例定数 a と、x ＝ 6 のときの y を求めなさい。
解答・解説を見る
答え：a ＝ 12、x＝6 のとき y ＝ 2
a ＝ x × y ＝ 3 × 4 ＝ 12。式は y ＝ 12÷x。
x ＝ 6 を入れて y ＝ 12 ÷ 6 ＝ 2。
つまずいたら → 「反比例の比例定数は x×y」（本ページ 例題2）に戻りましょう。
次の表は比例・反比例のどちらですか。式も答えなさい。
x：1, 2, 3, 4／y：24, 12, 8, 6
解答・解説を見る
答え：反比例、y ＝ 24 ÷ x
x×y を調べると 1×24＝24、2×12＝24、3×8＝24、4×6＝24 ですべて24（一定）。積が一定なので反比例で、a＝24。式は y ＝ 24÷x。
つまずいたら → 「y÷x が一定なら比例、x×y が一定なら反比例」（本ページ 比例と反比例のちがい）に戻りましょう。
y は x に反比例し、x＝3 のとき y＝4。x＝6 のときの y を求めなさい。
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よくある質問
Q. 比例と反比例のちがいは？
比例は y＝a×x で、xが2倍になるとyも2倍。反比例は y＝a÷x で、xが2倍になるとyは半分になり、x×yの積が一定です。
Q. 比例定数の求め方は？
比例では a＝y÷x で求めます。x＝2でy＝6なら a＝6÷2＝3、式は y＝3×x です。反比例では a＝x×y で求めます。
Q. 表から比例か反比例かを見分ける方法は？
y÷x がいつも同じなら比例、x×y がいつも同じなら反比例です。どちらも一定でなければ、そのどちらでもありません。
Q. 反比例のグラフが原点を通らないのはなぜですか？
y＝a÷x で x が0のときは値が決まらないからです。x を0に近づけると y はどこまでも大きくなり、軸に近づきながら交わりません。
次に学ぶ内容
小学校算数〜中学数学の範囲を参照し、オリジナルに作成（実在試験問題の転載はありません）。正確性は編集方針にそって確認しています。