比例式：内側どうしの積と外側どうしの積は等しい
a：b＝c：d のように「比が等しい」ことを表した式を比例式といいます。このとき、内側どうしをかけた内項の積 b×c と、外側どうしをかけた外項の積 a×d はいつも等しくなります。だから 3：4＝x：20 のような式は 4×x＝3×20 として x＝15 と求められます。
このページで学べること
- 比例式の意味と書き方がわかる
- 内項・外項の見分けがつく
- 内項の積＝外項の積で x を求められる
- レシピや地図の縮尺に応用できる
前提知識
なぜ「内項の積＝外項の積」になるのか
a：b＝c：d は、比の値で書くと a/b ＝ c/d です。両辺に b と d をかけると a×d ＝ b×c。つまり外項の積＝内項の積になります。おまじないではなく、分数の等式を整理した結果です。
3：4＝x：20 で確かめます。外側は 3 と 20、内側は 4 と x なので、4×x＝3×20＝60。よって x＝60÷4＝15です。答えを戻すと 3：4＝15：20 で、どちらも 5 で割ると 3：4。ちゃんと等しい比になっています。
比例式は「分からない数がある比」を求める道具です。片方の比だけを見て計算しないのがコツで、必ず2つの比を等号で結んでから積の形にします。
a：b ＝ c：d → a×d ＝ b×c（外項の積 ＝ 内項の積）図でイメージする（内項と外項）
例題（くわしい手順）
ホットケーキを作ります。小麦粉200g で 4人分できるレシピを、6人分に増やしたいとき、小麦粉は何g 必要ですか。
- 比例式を作る：小麦粉：人数 の順にそろえて 200：4 ＝ x：6。
- 積の形にする：外項の積 200×6＝1200、内項の積 4×x。よって 4x＝1200。
- わる：x＝1200÷4＝300g。
確かめ：200：4＝50：1、300：6＝50：1。1人分あたり50g で一致しています。「小麦粉：人数」の順を左右でそろえるのが最大の注意点です。
比例式と比の値の違い
| 用語 | 形 | 何をするもの | 例 |
|---|---|---|---|
| 比の値 | a÷b（1つの数） | 比の大きさを数で表す | 3：4 の比の値は 3÷4＝0.75 |
| 比例式 | a：b＝c：d（等式） | 等しい比から分からない数を求める | 3：4＝x：20 → x＝15 |
比の値が等しいことを式にしたものが比例式です。だから「比の値をそろえる」でも同じ答えになります。
よくある間違い
3：4＝x：20 で 3×x＝4×20 としてはいけません。かけるのは外側どうし（3と20）と内側どうし（4とx）です。正しくは 4x＝60 で x＝15。
「小麦粉：人数」と「人数：小麦粉」を混ぜると答えが変わります。両辺で同じ順番に並べてから解きましょう。
50cm と 2m を 50：2 としないこと。単位をそろえて 50：200＝1：4 とします。
練習問題
まず自分で解いてから解説を開きましょう。
2：5＝6：x のとき、x を求めなさい。
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答え：x＝15
内項の積＝外項の積より 5×6＝2×x。30＝2x なので x＝15です。
x：9＝4：6 のとき、x を求めなさい。
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答え：x＝6
外項の積 x×6、内項の積 9×4＝36。6x＝36 なので x＝6です。
縮尺 1：25000 の地図で 4cm の道は、実際には何km ですか。
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答え：1km
1：25000＝4：x より x＝4×25000＝100000cm。100000cm＝1000m＝1km です。
3：7＝x：210 のとき、x を求めなさい。
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答え：x＝90
内項の積 7×x、外項の積 3×210＝630。7x＝630 なので x＝90です。
よくある質問
Q. 比例式とは何ですか？
a：b＝c：d のように、2つの比が等しいことを表した式です。分からない数を x とおくと、内項の積＝外項の積を使って求められます。
Q. なぜ内項の積と外項の積が等しくなるのですか？
a：b＝c：d は分数で書くと a/b＝c/d です。両辺に b と d をかけると a×d＝b×c になります。分数の等式を整理しただけなので、いつでも成り立ちます。
Q. 比例式はどんなときに使いますか？
レシピの分量を人数に合わせて増やす、地図の縮尺から実際の距離を出す、絵や写真を同じ形のまま拡大するなど、「割合を保ったまま量を変える」場面で使います。
Q. 比例式で単位がちがうときはどうしますか？
先に単位をそろえます。50cmと2mを比にするなら 50：200＝1：4 です。そろえずに 50：2 とすると答えが大きくずれます。
次に学ぶ内容
小学校算数〜中学数学の範囲を参照し、オリジナルに作成（実在試験問題の転載はありません）。正確性は編集・監修フローで確認しています（仕様書 第11章）。