標本調査：一部を無作為に調べて、全体の割合を推定する
標本調査は、調べたい集団全体（母集団）から一部（標本）を無作為に取り出して調べ、全体のようすを推定する調査です。推定では標本での割合 ＝ 母集団での割合と考えて、母集団の大きさにその割合をかけます（答えには「約」をつけます）。
このページで学べること
- 母集団・標本・標本の大きさの意味がわかる
- 全数調査と標本調査を使い分けられる
- 標本の割合から母集団のおよその数を推定できる
- 印をつけて全体の数を推定する問題が解ける
前提知識
標本の割合を、母集団の割合とみなす
調べたい集団全体を母集団、そこから取り出して実際に調べる一部を標本、取り出した数を標本の大きさといいます。全部を調べるのは全数調査、一部だけ調べて全体を推定するのが標本調査です。
- 母集団から無作為に（かたよりなく）標本を取り出す。
- 標本の中での割合を求める（あてはまる数 ÷ 標本の大きさ）。
- その割合を母集団全体にかけて、およその数を推定する（答えには「約」をつける）。
くじ引きのように無作為に取り出すと、どの1つも同じように選ばれるので、標本は母集団の小さな縮図になります。だから標本での割合は、母集団での割合に近くなります。
ただし、たまたま多めに出たり少なめに出たりするのでぴったりにはなりません。推定した数に「約」をつけるのはそのためです。標本を大きくするほど、推定は母集団の値に近づきやすくなります。
図でイメージする（袋の中の赤玉を推定する）
例題（くわしい手順）
例題1：標本の割合から全体を推定する
袋の中に玉が 600個 入っています。よくかき混ぜて 30個 を無作為に取り出したところ、赤玉が 9個 ありました。袋の中の赤玉はおよそ何個ですか。
- 標本の割合：9 ÷ 30 ＝ 0.3
- 全体にかける：600 × 0.3 ＝ 180
- 答え：推定なので「約180個」。
- 確かめる：180 ÷ 600 ＝ 0.3 で、標本の割合と同じになっています。
例題2：印をつけて全体の数を推定する
池の魚に印をつけて 50匹 を池にもどしました。数日後に 80匹 をとったところ、印のついた魚が 8匹 いました。池の魚はおよそ何匹ですか。
- 標本での印の割合：8 ÷ 80 ＝ 0.1
- 池全体でも同じ割合と考える：印のついた50匹が全体の0.1にあたる。
- 全体を求める：50 ÷ 0.1 ＝ 500 答えは「約500匹」。
- 確かめる：500匹のうち50匹に印があれば割合は 50 ÷ 500 ＝ 0.1。標本と同じです。
例題1は「全体が分かっていて一部の数を出す」、例題2は「一部（印の数）が分かっていて全体を出す」逆向きの推定です。どちらも標本の割合 ＝ 母集団の割合と考えます。
全数調査と標本調査の違い
| 調査 | 調べる対象 | 向いている例 |
|---|---|---|
| 全数調査 | 集団の全部 | 国勢調査、学校の健康診断、入学試験 |
| 標本調査 | 集団の一部（無作為に選ぶ） | テレビの視聴率、世論調査、製品の品質検査（調べるとこわれるもの） |
全部を調べると手間や費用がかかりすぎるときや、電球の寿命のように調べるとその製品が使えなくなるときは標本調査を使います。一人ひとりの結果が必要なときは全数調査です。
よくある間違い
袋の上のほうだけから取る、駅前で会った人だけに聞く、などは無作為ではありません。標本が母集団の縮図にならず、推定がずれます。
標本調査で分かるのはおよその数です。答えには「約180個」のように「約」をつけます。
赤玉の割合は「赤玉の数 ÷ 標本の大きさ」（9 ÷ 30）です。30 ÷ 9 としたり、母集団 ÷ 標本のように計算したりしないようにしましょう。
練習問題
まず自分で解いてから解説を開きましょう。
ある中学校の生徒 1200人 から、60人 を無作為に選んでアンケートをとりました。このときの標本の大きさは何人ですか。
解答・解説を見る
答え：60人
実際に調べた（取り出した）人数が標本の大きさなので 60人です。1200人は母集団の大きさです。
つまずいたら → 「取り出した数が標本の大きさ」（本ページ 標本の割合を、母集団の割合とみなす）に戻りましょう。
袋に玉が 500個 入っています。無作為に 50個 取り出すと、白玉が 20個 ありました。袋の中の白玉はおよそ何個ですか。
解答・解説を見る
答え：約200個
標本での白玉の割合は 20 ÷ 50 ＝ 0.4。500 × 0.4 ＝ 200 なので、約200個です。
つまずいたら → 「標本の割合を全体にかける」（本ページ 例題1）に戻りましょう。
ある工場で作った製品 2000個 から 100個 を無作為に取り出して調べると、不良品が 3個 ありました。2000個の中の不良品はおよそ何個ですか。
解答・解説を見る
答え：約60個
不良品の割合は 3 ÷ 100 ＝ 0.03。2000 × 0.03 ＝ 60 なので 約60個です。
つまずいたら → 「割合は「あてはまる数 ÷ 標本の大きさ」」（本ページ よくある間違い③）に戻りましょう。
池の魚に印をつけて 40匹 をもどしました。数日後に 60匹 をとると、印のついた魚は 6匹 でした。池の魚はおよそ何匹ですか。
解答・解説を見る
答え：約400匹
印の割合は 6 ÷ 60 ＝ 0.1。印のついた40匹が全体の0.1にあたるので、40 ÷ 0.1 ＝ 400。約400匹です。
つまずいたら → 「一部から全体を出すときは割合でわる」（本ページ 例題2）に戻りましょう。
よくある質問
Q. 標本調査とは何ですか？
調べたい集団（母集団）の一部を無作為に取り出して調べ、その結果から集団全体のようすを推定する調査です。テレビの視聴率や世論調査が代表例です。
Q. 全数調査と標本調査の違いは？
全数調査は集団の全部を調べ、標本調査は一部だけを調べます。全部を調べると手間や費用がかかりすぎるときや、調べると製品がこわれてしまうときは標本調査を使います。
Q. 「無作為に抽出する」とはどういう意味ですか？
くじ引きや乱数などを使い、どれも同じ確率で選ばれるようにして取り出すことです。かたよりがあると、標本が母集団の縮図にならず推定がずれます。
Q. 推定した数に「約」をつけるのはなぜですか？
標本は母集団の一部なので、たまたま多めや少なめに出ることがあり、ぴったりの数にはならないからです。標本調査で分かるのは「およその数」です。
次に学ぶ内容
中学校数学（第3学年「標本調査」）の範囲を参照し、オリジナルに作成（実在試験問題の転載はありません）。正確性は編集方針にそって確認しています。