二次関数：y＝ax² と放物線
二次関数 y＝ax² は、y が x の2乗に比例する関数です。グラフは原点を通る左右対称の曲線「放物線」になり、a＞0 なら上に開き、a＜0 なら下に開きます。一次関数とちがい、変化の割合は一定ではありません。
このページで学べること
- y＝ax² の意味と表の作り方がわかる
- 放物線のグラフの特徴（向き・対称性）がわかる
- 通る点から a を求められる
- 変化の割合が一定でないことを説明できる
前提知識
表を作ると形が見える
y＝x² で表を作ると、放物線の特徴が見えてきます。
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
- 原点(0, 0)を通る：x＝0 のとき必ず y＝0
- y軸について左右対称：x＝2 と x＝−2 で同じ y
- a の符号で向きが決まる：a＞0 は上に開く、a＜0 は下に開く
変化の割合（yの増加量÷xの増加量）は一次関数のように一定ではありません。y＝x² で x が 1→3 のとき、(9−1)÷(3−1)＝8÷2＝4 ですが、区間を変えると値も変わります。
図でイメージする
白い点は通る点：(−2, 4)・(−1, 1)・(0, 0)・(1, 1)・(2, 4)。
例題（くわしい手順）
y＝ax² のグラフが点 (2, 8) を通るとき、a と式を求めます。
- 座標を代入：x＝2、y＝8 を y＝ax² に入れる → 8＝a×2²。
- a を解く：8＝4a → a＝2。
- 式は y＝2x²。（確かめ：x＝2 → y＝2×4＝8 ○）
通る点が1つ分かれば a が決まります。代入→aについて解く、の2手順です。
一次関数と二次関数（y＝ax²）の違い
| 項目 | 一次関数 y＝ax＋b | 二次関数 y＝ax² |
|---|---|---|
| グラフ | 直線 | 放物線（原点を通る曲線） |
| 変化の割合 | 一定（＝a） | 一定ではない |
| 対称性 | なし | y軸について左右対称 |
グラフが「直線か曲線か」、変化の割合が「一定かどうか」が大きなちがいです。
よくある間違い
y＝x² で x が 2倍になると y は 2²＝4倍になります（x=1→y=1、x=2→y=4）。2乗に比例するためです。
x＝−2 のとき y＝(−2)²＝＋4。負の数の2乗は正になります。
一次関数と混同した誤り。二次関数の変化の割合は区間によって変わるので、その都度 (yの増加量)÷(xの増加量) を計算します。
練習問題
まず自分で解いてから解説を開きましょう。
y＝x² で、x＝−3 のときの y を求めなさい。
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答え：9
y＝(−3)²＝9。負の数の2乗は正です。
負の数の2乗は必ず正になります（(−3)×(−3)＝9）。−9 としないよう、符号に注意しましょう。
y＝ax² のグラフが点 (2, 8) を通るとき、a を求めなさい。
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答え：a＝2
8＝a×4 より a＝2。
通る点の x と y を式に代入して a を求めます。x を先に2乗する（2²＝4）のを忘れて 8＝a×2 とすると a＝4 になってしまいます。
y＝x² で、x が 1 から 3 まで増えるときの変化の割合を求めなさい。
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答え：4
yは1→9で増加量8、xの増加量は2。8÷2＝4。
変化の割合＝y の増加量 ÷ x の増加量。y＝x² では一次関数とちがい、どの区間をとるかで値が変わります。
y＝−x² のグラフはどちらに開きますか。また最も大きい y の値はいくつですか。
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答え：下に開く・最大は0（原点）
a＝−1＜0 なので下に開き、頂点の原点で y＝0 が最大になります。
よくある質問
Q. 二次関数のグラフはどんな形？
y＝ax² のグラフは、原点を通る左右対称の曲線「放物線」です。a＞0 なら上に開き（下に凸）、a＜0 なら下に開きます。aの絶対値が大きいほど細くなります。
Q. y＝ax² の a はどう求める？
グラフが通る1点の座標を代入します。たとえば点(2, 8)を通るなら 8＝a×2²＝4a なので a＝2、式は y＝2x² です。
Q. 一次関数と二次関数で変化の割合はどうちがいますか？
一次関数はどこでも同じ（＝傾き）ですが、二次関数は区間によって変わります。y＝x² では x が1→2で3、2→4で6です。
Q. a の値でグラフはどう変わりますか？
a が正なら上に開き、負なら下に開きます。絶対値が大きいほど幅がせまく、とがった形になります。
次に学ぶ内容
小学校算数〜中学数学の範囲を参照し、オリジナルに作成（実在試験問題の転載はありません）。正確性は編集・監修フローで確認しています（仕様書 第11章）。