二次方程式：解は最大2つ
二次方程式とは、ax²＋bx＋c＝0 の形（xの2乗を含む）の方程式です。一次方程式とちがい、解は最大2つあります。たとえば x²−5x＋6＝0 は因数分解して (x−2)(x−3)＝0 となり、解は x＝2 と x＝3 です。
このページで学べること
- 二次方程式と一次方程式のちがいがわかる
- 因数分解を使って解ける
- x²＝a の形を平方根で解ける
- 解の公式を使うべき場面がわかる
前提知識
3つの解き方と選び方
- x²＝a の形 → 平方根：x＝±√a（例：x²＝9 → x＝±3）
- 因数分解できる → (x−p)(x−q)＝0 → x＝p, q
- どちらも無理 → 解の公式：x＝(−b±√(b²−4ac))÷2a
因数分解で解くときのポイントは「AB＝0 なら A＝0 または B＝0」という考え方。(x−2)(x−3)＝0 なら、x−2＝0 か x−3＝0、つまり x＝2 か x＝3 です。
解の公式はどんな二次方程式にも使える万能な方法ですが、計算量が多いので、まず①②を試すのが効率的です。
かけ算の答えが 0 になるのは、かけている数のどちらかが0のときだけです。5 × 3 も 5 × 0.001 も0にはなりませんが、5 × 0 は0になります。
だから (x−2)(x−3) ＝ 0 なら、x−2 が0 か x−3 が0 のどちらかしかありえません。それぞれ解いて x ＝ 2、x ＝ 3。この「AB ＝ 0 なら A ＝ 0 または B ＝ 0」という性質を使うために、まず右辺を0にしてから因数分解する必要があります。右辺が0でないと、この理屈は使えません。
図でイメージする
例題（くわしい手順）
例題1：因数分解して解く
x² − x − 6 ＝ 0 を解きます。
- 因数分解を試す：かけて −6・たして −1 になる2数は −3 と ＋2。
- (x−3)(x＋2)＝0 と書ける。
- x−3＝0 または x＋2＝0 なので、解は x＝3 と x＝−2。（確かめ：9−3−6＝0 ○、4＋2−6＝0 ○）
解が出たら、もとの式に代入して確かめると符号ミスに気づけます。
例題2：解の公式で解く
x² ＋ 3x ＋ 1 ＝ 0 を解きます。
- 因数分解を試す：かけて1・たして3になる整数の組はないので、解の公式を使います。
- a・b・c を読み取る：a ＝ 1、b ＝ 3、c ＝ 1。
- √の中を計算する：b² − 4ac ＝ 3 × 3 − 4 × 1 × 1 ＝ 5
- 公式にあてはめる：x ＝ (−3 ± √5) ÷ 2。解は (−3＋√5)/2 と (−3−√5)/2 の2つです。
- 確かめる：2つの解を足すと −3（＝ −b ÷ a）、かけると 1（＝ c ÷ a）。係数と合っています。
解の公式はどんな二次方程式にも使えますが計算が重いので、①平方根 ②因数分解 ③解の公式の順に試すのが効率的です。
一次方程式と二次方程式の違い
| 用語 | 形 | 解の個数 | 例 |
|---|---|---|---|
| 一次方程式 | ax＋b＝0 | 1つ | 2x＋3＝11 → x＝4 |
| 二次方程式 | ax²＋bx＋c＝0 | 最大2つ | x²−5x＋6＝0 → x＝2, 3 |
xの最高次数（1乗か2乗か）で区別します。次数が上がると解の個数の上限も増えます。
よくある間違い
(−3)²＝9 も成り立つので、解は x＝±3 の2つです。−を忘れないように。
x²＝3x を x でわると x＝3 だけになりますが、x＝0 も解です。移項して x²−3x＝0 → x(x−3)＝0 → x＝0, 3 と解きます。
「AB＝0 なら A＝0 または B＝0」が使えるのは右辺が0のときだけ。まず全部を左辺に移項して ＝0 の形にします。
練習問題
まず自分で解いてから解説を開きましょう。
x² ＝ 16 を解きなさい。
解答・解説を見る
答え：x＝±4
2乗して16になる数は ＋4 と −4。x＝±4。
2乗して16になる数は2つある（＋4と−4）ので、± をつけて答えます。4だけにすると解を1つ落とします。
つまずいたら → 「x²＝a の解は ±√a で2つある」（本ページ よくある間違い①）に戻りましょう。
x² − 7x ＋ 12 ＝ 0 を解きなさい。
解答・解説を見る
答え：x＝3, 4
かけて12・たして−7 → −3と−4。(x−3)(x−4)＝0 より x＝3, 4。
つまずいたら → 「かけて c・たして b になる2数を探す」（本ページ 例題1）に戻りましょう。
x² ＋ 2x − 8 ＝ 0 を解きなさい。
解答・解説を見る
答え：x＝−4, 2
かけて−8・たして＋2 → ＋4と−2。(x＋4)(x−2)＝0 より x＝−4, 2。（確かめ：16−8−8＝0 ○）
つまずいたら → 「右辺を0にしてから因数分解する」（本ページ よくある間違い③）に戻りましょう。
x² ＋ 3x ＋ 1 ＝ 0 を解の公式で解きなさい。
解答・解説を見る
答え：x＝(−3±√5)/2
a＝1, b＝3, c＝1。x＝(−3±√(9−4))÷2＝(−3±√5)/2。
つまずいたら → 「解の公式は b²−4ac から計算する」（本ページ 例題2）に戻りましょう。
よくある質問
Q. 二次方程式の解き方は？
主に3つあります。①因数分解できるなら (x−2)(x−3)＝0 → x＝2, 3。②x²＝9 の形なら x＝±3。③どちらも使えないときは解の公式 x＝(−b±√(b²−4ac))÷2a を使います。
Q. なぜ解が2つあるの？
2乗すると同じ値になる数が＋と−の2つあるからです。x²＝9 は 3²＝9 と (−3)²＝9 の両方が成り立つので、x＝＋3 と −3 の2つが解になります。
Q. 解の公式はいつ使いますか？
因数分解できないときです。x²＋3x＋1＝0 のように整数で分けられない式は、x＝(−b±√(b²−4ac))÷2a で求めます。
Q. 解が1つしかないことはありますか？
あります。(x−5)²＝0 のように2乗の形になるときは、解が5の1つだけです（重解）。
次に学ぶ内容
小学校算数〜中学数学の範囲を参照し、オリジナルに作成（実在試験問題の転載はありません）。正確性は編集方針にそって確認しています。