一次関数：y＝ax＋b の傾きと切片
一次関数は y＝ax＋b の形。a は傾き（x が1増えると y が a 増える割合）、b は切片（x＝0 のときの y）。グラフは直線で、比例（b＝0）の仲間です。
このページで学べること
- 一次関数の式 y＝ax＋b が読める・使える
- 傾き a と切片 b の意味がわかる
- 2点から一次関数の式を求められる
前提知識
傾きと切片の意味
- 傾き a＝変化の割合＝(y の増加量) ÷ (x の増加量)。x が1増えると y は a 増えます。
- 切片 b＝x＝0 のときの y。グラフがy 軸と交わる点の高さです。
- 比例 y＝ax は、切片 b＝0 の一次関数（原点を通る直線）。
まず切片の点 (0, b) を打ち、そこから「右へ1・上へ a」進んだ点を打って直線で結ぶだけ。a が負なら下へ進みます。
y ＝ 2x ＋ 1 で x を1増やしてみます。x ＝ 0 のとき y ＝ 1、x ＝ 1 のとき y ＝ 3。x が1増えると y は2増えました。この「2」が傾き a です。
x が2増えれば y は4増えるので 4 ÷ 2 ＝ 2 と、どこで測っても同じ値になります。一定の割合で増えるからこそ、グラフがまっすぐな直線になるのです。切片 b は出発点の高さにすぎず、傾きには関係しません。だから b だけがちがう直線どうしは平行になります。
グラフでイメージする（y＝2x＋1）
例題（くわしい手順）
例題1：切片が分かっている2点から式を求める
2点 (0, 1) と (2, 5) を通る一次関数の式を求めます。
- 傾き a＝yの増加÷xの増加＝(5−1)÷(2−0)＝4÷2＝2。
- 切片 b＝x＝0 のときの y＝1。
- 式は y＝2x＋1。
- 確かめる：x ＝ 2 を y ＝ 2x ＋ 1 に入れると 2 × 2 ＋ 1 ＝ 5 で、通る点 (2, 5) と合います。
一次関数は y＝ax＋b。傾き（変化の割合）と切片が分かれば式が書けます。
例題2：切片が分からない2点から求める
2点 (1, 5) と (4, 14) を通る一次関数の式を求めます。
- 傾きを出す：(14 − 5) ÷ (4 − 1) ＝ 3 なので a ＝ 3。
- 式に片方の点を入れる：y ＝ 3x ＋ b に (1, 5) を代入して 5 ＝ 3 × 1 ＋ b。
- b を求める：5 − 3 ＝ 2 なので b ＝ 2。式は y ＝ 3x ＋ 2。
- 確かめる：もう一方の点 (4, 14) も入れると 3 × 4 ＋ 2 ＝ 14。合っています。
切片が (0, b) の形で与えられていないときは、傾きを先に求めてから、通る点を代入して b を出すのが定石です。確かめには使わなかったほうの点を使います。
比例と一次関数の違い
| 用語 | 式 | グラフ |
|---|---|---|
| 比例 | y＝ax | 原点を通る直線 |
| 一次関数 | y＝ax＋b | 切片 b だけ上下にずれた直線 |
比例は一次関数で b＝0 の特別な場合。b が切片（y軸との交点）です。
よくある間違い
y＝2x＋1 の傾きは 2、切片は 1。x にかかっている数が傾き、単独の数が切片です。
傾き＝y の増加量 ÷ x の増加量。x がどれだけ増えたかで割るのを忘れないように。
y＝2x−3 の切片は −3（y 軸の 0 より下）。＋と−を正しく扱いましょう。
練習問題
まず自分で解いてから解説を開きましょう。
一次関数 y＝2x＋3 で、x＝4 のときの y を求めなさい。
解答・解説を見る
答え：y＝11
x＝4 を代入：y＝2×4＋3＝8＋3＝11。
代入はx のところに数を入れるだけ。2x は 2×x なので、2＋4＝6 としないよう注意しましょう。
つまずいたら → 「x に値を入れて y を計算する」（本ページ 傾きと切片の意味）に戻りましょう。
一次関数 y＝2x＋1 の傾きと切片を答えなさい。
解答・解説を見る
2点 (0, 1) と (2, 5) を通る直線の式を求めなさい。
解答・解説を見る
答え：y＝2x＋1
傾き＝(yの増加量)÷(xの増加量)＝(5−1)÷(2−0)＝4÷2＝2。
切片は (0, 1) より b＝1。よって y＝2x＋1。
たしかめ：x＝2 のとき y＝2×2＋1＝5。点(2,5)を通る。
つまずいたら → 「傾き ＝ y の増加量 ÷ x の増加量」（本ページ 例題2）に戻りましょう。
一次関数 y＝3x−2 で、x＝4 のときの y を求めなさい。
解答・解説を見る
答え：10
x に 4 を代入：3×4−2＝12−2＝10。
かけ算が先です（3×4＝12）。(3−2)×4＝4 のように、引き算を先にしないよう注意しましょう。
つまずいたら → 「b が負のときは引き算になる」（本ページ よくある間違い③）に戻りましょう。
よくある質問
Q. 一次関数の傾きと切片とは？
y＝ax＋b の a が傾き（xが1増えるとyがa増える割合）、b が切片（x＝0のときのyの値でy軸との交点）です。
Q. 比例と一次関数のちがいは？
比例 y＝ax は、一次関数 y＝ax＋b で切片 b が0の特別な場合です。どちらもグラフは直線になります。
Q. 2点から直線の式を求める手順は？
まず傾きを「yの増加量÷xの増加量」で出し、そのあとどちらかの点を代入して切片を求めます。(1, 5)と(3, 11)なら傾き3、切片2で y＝3x＋2 です。
Q. 傾きが負だとグラフはどうなりますか？
右へ行くほど下がります。y＝−2x＋5 なら、x が1増えると y は2減ります。
次に学ぶ内容
小学校算数〜中学数学の範囲を参照し、オリジナルに作成（実在試験問題の転載はありません）。正確性は編集方針にそって確認しています。