連立方程式：1つの文字を消して解く
連立方程式は、2つの文字（x・y）を含む2つの方程式の組。1つの文字を消して、もう1つの文字だけの方程式にして解きます。消し方に加減法と代入法があります。
このページで学べること
- 連立方程式と、その解の意味がわかる
- 加減法（たし引きで文字を消す）で解ける
- 代入法（式を代入して文字を消す）で解ける
前提知識
2つの解き方
消したい文字の係数をそろえて、2つの式をたす・ひくと、その文字が消えます。同符号ならひく、異符号ならたすと消えます。
片方の式が「y＝…」の形なら、それをもう一方の式の y にまるごと代入すると、x だけの方程式になります。
どちらの方法でも、まず1文字を求め、その値を式に戻してもう1つの文字も求めます。解は「x＝○, y＝△」の組です。
図でイメージする（加減法で y を消す）
＋y と −y が消える
→ x ＝ 3, y ＝ 2
例題（くわしい手順）
連立方程式 x＋y＝5、x−y＝1 を解きます。
- 加減法：2式を辺々たすと y が消える。(x＋y)＋(x−y)＝5＋1 → 2x＝6。
- x＝3。
- x＝3 を x＋y＝5 に入れて 3＋y＝5 → y＝2。答えは x＝3, y＝2。
同じ文字が消えるように、たすかひくかを選ぶのが加減法のポイントです。
加減法と代入法の違い
| 解き方 | 文字の消し方 | 向いている場面 |
|---|---|---|
| 加減法 | 2式をたす／ひいて消す | 係数をそろえやすいとき |
| 代入法 | 一方の式を他方に代入して消す | x＝… や y＝… の形があるとき |
どちらも「文字を1つ消して1つの方程式にする」のが目的。式の形で使いやすい方を選びます。
よくある間違い
同符号の文字はひいて消し、異符号の文字はたして消します。ここを逆にすると消えません。
x が出たら終わりではありません。その値を式に戻して y も求めるまででワンセットです。
y＝x＋1 を代入するとき、y の場所に (x＋1) をまるごと入れます。かっこを忘れると符号ミスのもとです。
練習問題
まず自分で解いてから解説を開きましょう。
x ＋ y ＝ 5、x − y ＝ 1 を解きなさい。
解答・解説を見る
答え：x＝3, y＝2
2式をたすと、＋yと−yが消えて 2x＝6、x＝3。
x＝3 を x＋y＝5 に戻して 3＋y＝5、y＝2。
y ＝ x ＋ 1、2x ＋ y ＝ 7 を解きなさい。
解答・解説を見る
答え：x＝2, y＝3
2x＋y＝7 の y に (x＋1) を代入：2x＋(x＋1)＝7 → 3x＋1＝7 → 3x＝6 → x＝2。
y＝x＋1＝2＋1＝3。
3x ＋ 2y ＝ 12、x ＋ 2y ＝ 8 を解きなさい。
解答・解説を見る
答え：x＝2, y＝3
y の係数が同じ（2y）なので、上の式から下の式をひくと y が消えます：
(3x＋2y)−(x＋2y)＝12−8 → 2x＝4 → x＝2。
x＝2 を x＋2y＝8 に戻して 2＋2y＝8 → 2y＝6 → y＝3。
たしかめ：3×2＋2×3＝6＋6＝12。合っています。
連立方程式 x＋y＝10、x−y＝4 を解きなさい。
解答・解説を見る
答え：x＝7, y＝3
辺々たすと 2x＝14 → x＝7。x＋y＝10 に入れて 7＋y＝10 → y＝3。
よくある質問
Q. 連立方程式の解き方は？
2つの文字のうち1つを消して、もう1つの文字だけの方程式にして解きます。消し方には、たし引きで消す加減法と、片方の式を代入して消す代入法があります。
Q. 加減法と代入法はどう使い分ける？
係数がそろえやすいときは加減法、片方が「y＝…」の形になっているときは代入法が便利です。どちらでも同じ答えになります。
Q. 連立方程式に解がないことはありますか？
あります。2つの式が平行な直線を表すとき（x＋y＝3 と x＋y＝5 など）は、同時に成り立つ値がないので解なしです。
Q. 文章題を連立方程式にするコツは？
分からないものを2つ決めて x と y にし、「個数の関係」と「金額の関係」のように別の2つの見方で式を作ります。
次に学ぶ内容
小学校算数〜中学数学の範囲を参照し、オリジナルに作成（実在試験問題の転載はありません）。正確性は編集・監修フローで確認しています（仕様書 第11章）。