約数と倍数：わり切れる数・かけてできる数
約数は「その数をわり切れる整数」、倍数は「その数を整数倍した数」。共通の約数で最大のものが最大公約数、共通の倍数で最小のものが最小公倍数です。
このページで学べること
- 約数・倍数を正しく列挙できる
- 最大公約数・最小公倍数を求められる
- 分数の約分・通分になぜ役立つかがわかる
前提知識
約数・倍数のことば
- 倍数：ある数を1倍・2倍・3倍…した数。3の倍数は 3, 6, 9, 12, 15 …（かぎりなく続く）。
- 約数：ある数をわり切れる整数。12の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12（1とその数自身をふくむ・有限個）。
- 公倍数：2つ以上に共通する倍数。そのうち最小が最小公倍数。
- 公約数：2つ以上に共通する約数。そのうち最大が最大公約数。
12なら「1×12」「2×6」「3×4」のようにかけて12になるペアを小さい順に探すと、もれなく 1,2,3,4,6,12 が見つかります。
12 ＝ 2² × 3、18 ＝ 2 × 3² のように分解すると、その数がどの素数を何個持っているかが見えます。約数とは「持っている素数を取り出して作れる数」のことです。
だから両方が持っているぶんだけ取り出せば公約数になり、取れるだけ取ったものが最大公約数（2 × 3 ＝ 6）。逆にどちらも作れるようにするには、それぞれの素数を多いほうの個数だけ用意すればよく、これが最小公倍数（2² × 3² ＝ 36）です。ひとつずつ数え上げなくても、材料表を見くらべるだけで求められます。
図でイメージする（8と12の最大公約数）
例題（くわしい手順）
例題1：最大公約数と最小公倍数を求める
12 と 18 の最大公約数と最小公倍数を求めます。
- 素因数分解：12＝2²×3、18＝2×3²。
- 最大公約数(GCD)＝共通する素数を最小の個数だけかける：2×3＝6。
- 最小公倍数(LCM)＝各素数を最大の個数だけかける：2²×3²＝36。
- 確かめる：6 は 12 と 18 のどちらもわり切り、36 は 12 の3倍・18 の2倍。さらに 6 × 36 ＝ 216 が 12 × 18 ＝ 216 と一致します。
素因数分解しておくと、最大公約数も最小公倍数も同じ材料から求められます。
例題2：公倍数を使う文章題
たて 8cm、よこ 12cm の長方形のタイルを同じ向きにすきまなく並べて、できるだけ小さい正方形を作ります。1辺は何cmになりますか。
- 何を求めるかを言いかえる：1辺は 8 でも 12 でもわり切れる長さ＝8 と 12 の公倍数。そのうち最小のものです。
- 素因数分解する：8 ＝ 2³、12 ＝ 2² × 3。
- 多いほうの個数をとる：8 × 3 ＝ 24 なので1辺は 24cm。
- 確かめる：24 ÷ 8 ＝ 3 枚、24 ÷ 12 ＝ 2 枚で、ちょうどすきまなく並びます。
「そろえる・すきまなく並べる」は公倍数、「同じ大きさに分ける・配る」は公約数。文章題では、まずどちらを聞かれているかを見分けます。
最大公約数と最小公倍数の違い
| 用語 | もとにする | 選ぶ | 12と18の例 |
|---|---|---|---|
| 最大公約数 | 共通の約数 | その中で最大 | 6 |
| 最小公倍数 | 共通の倍数 | その中で最小 | 36 |
約分では最大公約数、通分では最小公倍数を使います。どちらを使う場面かで見分けます。
よくある間違い
約数には必ず「1」と「その数自身」が入ります。12の約数から1や12を落とさないように。
「約数」は小さくなる方向、「倍数」は大きくなる方向。公約数の最大・公倍数の最小を求めます。逆にしないよう、ことばで確認しましょう。
公倍数はかぎりなくあり、最小のもの（最小公倍数）を答えます。逆に公約数は有限個で、最大のもの（最大公約数）を答えます。
練習問題
まず自分で解いてから解説を開きましょう。
12 の約数をすべて書きなさい。
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答え：1, 2, 3, 4, 6, 12
かけて12になるペア「1×12」「2×6」「3×4」を探すと、もれなく6個見つかります。
つまずいたら → 「かけてその数になるペアを小さい順に探す」（本ページ 約数・倍数のことば）に戻りましょう。
8と12 の最大公約数を求めなさい。
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答え：4
8の約数は 1,2,4,8。12の約数は 1,2,3,4,6,12。共通は 1,2,4 で、最大は 4。
つまずいたら → 「共通する素数を取り出すのが最大公約数」（本ページ 例題1）に戻りましょう。
6と8 の最小公倍数を求めなさい。
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答え：24
6の倍数：6, 12, 18, 24, 30 …／8の倍数：8, 16, 24, 32 …。
はじめて共通するのは 24 なので、最小公倍数は 24。
分数 1/6 と 1/8 を通分するときの分母（24）は、この最小公倍数です。
つまずいたら → 「多いほうの個数をとるのが最小公倍数」（本ページ 例題2）に戻りましょう。
8 と 12 の最小公倍数を求めなさい。
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よくある質問
Q. 約数と倍数のちがいは？
約数はその数をわり切れる整数（12の約数は1,2,3,4,6,12）。倍数はその数を整数倍した数（3の倍数は3,6,9,12…）です。
Q. 最大公約数と最小公倍数の求め方は？
共通の約数のうち最も大きいものが最大公約数、共通の倍数のうち最も小さいものが最小公倍数です。8と12なら最大公約数は4、6と8なら最小公倍数は24です。
Q. 「最小公約数」や「最大公倍数」はありますか？
ふつうは使いません。どんな整数の組でも1は公約数なので、最小公約数はいつも1になり、求める意味がありません。また倍数はいくらでも大きくなるので、最大公倍数は決まりません。求めるのは「最大公約数」と「最小公倍数」です。たとえば8と12なら、公約数は1・2・4で最大公約数は4、公倍数は24・48…で最小公倍数は24です。
Q. 最大公約数と最小公倍数はどんなときに使いますか？
「同じ大きさに分ける・切り分ける」ときは最大公約数、「同時にそろう時刻をさがす」ときは最小公倍数です。
Q. 2つの数の積と最大公約数・最小公倍数の関係は？
「最大公約数×最小公倍数＝2つの数の積」になります。12と18なら 6×36＝216＝12×18 です。
次に学ぶ内容
小学校算数〜中学数学の範囲を参照し、オリジナルに作成（実在試験問題の転載はありません）。正確性は編集方針にそって確認しています。