素数と素因数分解：数を素数の積で表す
素数は「1とその数自身しか約数がない2以上の整数」（2・3・5・7・11…）。素因数分解は、数を素数のかけ算で表すこと。たとえば 60＝2×2×3×5＝2²×3×5。
このページで学べること
- 素数の意味と、20までの素数がわかる
- 素因数分解のやり方が身につく
- 約数や最大公約数と、どうつながるかがわかる
前提知識
素数の決まり
- 素数：約数が「1」と「その数自身」の2つだけの整数（2以上）。
- 1は素数ではない（約数が1つしかない）。
- 2は最小の素数で、偶数の素数は2だけ。
- 20までの素数：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19（8個）。
- 素数でない2以上の数（4, 6, 8, 9…）は合成数といいます。
小さい素数（2→3→5→7…）でわり切れる限りわっていくだけ。商が素数になったら終わりです。同じ素数のかけ算は 2×2＝2² のように指数で書きます。
素数の決まりは「約数が1とその数自身の2つ」でした。1の約数は1しかないので、そもそもこの条件を満たしません。
もっと大事な理由は、素因数分解の答えが1つに決まらなくなることです。もし1を素数にすると、6 は 2×3 のほかに 1×2×3、1×1×2×3 … といくらでも書けてしまいます。「どんな整数も素数の積としてただ1通りに表せる」という便利な決まりを守るために、1は素数から外してあります。
図でイメージする（60の素因数分解）
- 60
- 2
- 30
- 2
- 15
- 3
- 5
例題（くわしい手順）
例題1：素因数分解する
84 を素因数分解します。
- 小さい素数で割る：84÷2＝42。
- さらに割る：42÷2＝21。
- 21÷3＝7。7 は素数なので終了。よって 84＝2²×3×7。
- 確かめる：2 × 2 × 3 × 7 ＝ 84 となり、もとの数に戻ります。
いちばん小さい素数から順に、割り切れなくなるまで割っていくのがコツです。
例題2：素数かどうかを見分ける
91 は素数ですか。
- どこまで調べるかを決める：10 × 10 ＝ 100 で91を超えるので、10より小さい素数（2・3・5・7）だけ調べれば足ります。
- 順に試す：91 は偶数でないので2ではわれない。各位の和が 9 ＋ 1 ＝ 10 で3の倍数でない。一の位が1なので5でもわれない。
- 7で試す：91 ÷ 7 ＝ 13 でわり切れました。
- 答える：91 ＝ 7 × 13 なので素数ではありません。
素数かどうかは2乗してその数を超える手前まで調べれば決まります。91 なら 10 までで足りるので、実際に試すのは 2・3・5・7 の4つだけです。
素数と合成数の違い
| 用語 | 約数の数 | 例 |
|---|---|---|
| 素数 | 1とその数自身の2個だけ | 2, 3, 5, 7, 11 |
| 合成数 | 3個以上（他の約数もある） | 4, 6, 8, 9, 12 |
1は素数でも合成数でもありません（約数が1個だけ）。2は最小の素数で、偶数で唯一の素数です。
よくある間違い
1は素数ではありません。素数は約数がちょうど2個（1と自身）の数です。
9＝3×3、15＝3×5 のようにほかの約数があるので素数ではありません（合成数）。奇数でも素数とは限りません。
12を「2×6」で止めるのは不十分。6はまだ分解できるので、2×2×3 まで進めます。
練習問題
まず自分で解いてから解説を開きましょう。
20までの素数をすべて書きなさい。
解答・解説を見る
答え：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
1は素数ではありません。9（＝3×3）や15（＝3×5）は合成数なので入りません。
つまずいたら → 「1は素数ではない。2は素数」（本ページ 素数の決まり）に戻りましょう。
12 を素因数分解しなさい。
解答・解説を見る
60 を素因数分解しなさい。
解答・解説を見る
答え：2²×3×5
60÷2＝30、30÷2＝15、15÷3＝5、5は素数。
よって 60＝2×2×3×5＝2²×3×5。
たしかめ：2×2×3×5＝4×15＝60。
つまずいたら → 「同じ素数のかけ算は指数で書く」（本ページ 素数の決まり）に戻りましょう。
90 を素因数分解しなさい。
解答・解説を見る
答え：2×3²×5
90÷2＝45、45÷3＝15、15÷3＝5、5 は素数。よって 90＝2×3²×5。
つまずいたら → 「商が素数になるまで分解しきる」（本ページ よくある間違い③）に戻りましょう。
よくある質問
Q. 素数とは何ですか？
1とその数自身しか約数を持たない2以上の整数です。2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 などが素数で、1は素数にふくめません。
Q. 60を素因数分解すると？
60＝2×2×3×5＝2²×3×5 です。小さい素数（2→3→5…）で順にわっていくと求められます。
Q. 1は素数ですか？
素数ではありません。素数は「1とその数自身の2つだけを約数に持つ数」で、1の約数は1つだけだからです。最小の素数は2です。
Q. ある数が素数かどうかはどう調べますか？
その数の平方根以下の素数でわってみて、どれでもわり切れなければ素数です。91なら2・3・5・7で試すと 7×13 でわり切れるので素数ではありません。
次に学ぶ内容
小学校算数〜中学数学の範囲を参照し、オリジナルに作成（実在試験問題の転載はありません）。正確性は編集方針にそって確認しています。