円周角の定理：円周角は中心角の半分、同じ弧なら円周角はすべて等しい
1つの弧に対する円周角は、その弧に対する中心角の半分です。また、同じ弧に対する円周角はすべて等しく、円周上の点をどこに動かしても変わりません。直径（半円の弧）に対する円周角は 180° ÷ 2 ＝ 90° です。
このページで学べること
- 円周角と中心角の関係がわかる
- 同じ弧に対する円周角が等しいことを使える
- 直径に対する円周角が90°になる理由がわかる
- 円周角の定理を使って角度を求められる
前提知識
円周角の定理は2つのことを言っている
円Oの円周上に点A・Bをとり、弧ABの上にない円周上の点をPとします。∠APB を弧ABに対する円周角、∠AOB を弧ABに対する中心角といいます。
- 1つの弧に対する円周角は、その弧に対する中心角の半分。
- 同じ弧に対する円周角は、すべて等しい（点Pを円周上のどこに動かしても変わらない）。
点Pと中心Oを通る直線を引くと、OP ＝ OA（どちらも半径）なので三角形OPAは二等辺三角形です。底角が等しいので、∠OPA ＝ ∠OAP。三角形の外角は、となり合わない2つの内角の和なので、Oのところにできる外角は ∠OPA ＋ ∠OAP ＝ 2 × ∠OPA です。
B の側でも同じことが起こるので、2つを合わせると中心角 ＝ 2 × 円周角。半径が等しいことから二等辺三角形が生まれ、その外角がちょうど2倍になる——これが「半分」の正体です。直径の場合は中心角が180°なので、円周角は 180 ÷ 2 ＝ 90° になります。
図でイメージする（中心角110°と円周角55°）
例題（くわしい手順）
例題1：中心角から円周角を求める
円Oで、弧ABに対する中心角 ∠AOB が 110° です。同じ弧ABに対する円周角 ∠APB を求めましょう。
- 同じ弧かを確かめる：∠AOB と ∠APB はどちらも弧ABに対する角。
- 円周角は中心角の半分：110 ÷ 2 ＝ 55（°）
- 確かめる：55 × 2 ＝ 110 で中心角にもどります。
例題2：円周角から中心角を求める（逆算）
円Oで、弧ABに対する円周角 ∠APB が 35° です。弧ABに対する中心角 ∠AOB を求めましょう。
- 関係を逆に使う：中心角は円周角の2倍。
- 35 × 2 ＝ 70（°）
- 確かめる：70 ÷ 2 ＝ 35 で円周角にもどります。
中心角 → 円周角は「÷2」、円周角 → 中心角は「×2」。中心角のほうが大きいと覚えておけば、どちらに計算するかで迷いません。
中心角と円周角の違い
| 角 | 頂点の位置 | 大きさの関係 |
|---|---|---|
| 中心角 ∠AOB | 円の中心O | 円周角の2倍 |
| 円周角 ∠APB | 円周上の点P | 中心角の半分。同じ弧ならどこでも等しい |
中心角はおうぎ形の大きさを決める角、円周角は円周上から弧を見こむ角です。角度の基本（三角形の内角の和・外角）がそのまま使えます。
よくある間違い
大きいのは中心角のほうです。中心角110°なら円周角は55°。逆に220°としてしまうと、三角形の内角としてありえない大きさになります。
等しいのは同じ弧に対する円周角だけです。角の頂点から見て、両はしがどの2点を通っているか（どの弧を見こんでいるか）を必ず確かめましょう。
ABが直径なら、円周上のどの点Cでも ∠ACB ＝ 90° です。図に直径があったら、まず直角をさがすと残りの角が三角形の内角の和（180°）から求まります。
練習問題
まず自分で解いてから解説を開きましょう。
円Oで、弧ABに対する中心角 ∠AOB が 140° です。弧ABに対する円周角 ∠APB は何度ですか。
解答・解説を見る
円Oで、弧ABに対する円周角 ∠APB が 48° です。弧ABに対する中心角 ∠AOB は何度ですか。
解答・解説を見る
線分ABは円Oの直径で、点Cは円周上の点です。∠ABC ＝ 35° のとき、∠BAC は何度ですか。
解答・解説を見る
答え：55°
ABが直径なので ∠ACB ＝ 90°。三角形ABCの内角の和は180°なので、∠BAC ＝ 180 − 90 − 35 ＝ 55° です。
つまずいたら → 「直径に対する円周角は90°」（本ページ よくある間違い③）に戻りましょう。
円Oで、弧ABに対する中心角 ∠AOB が 100° です。三角形OABの ∠OAB は何度ですか。
解答・解説を見る
答え：40°
OA ＝ OB（半径）なので三角形OABは二等辺三角形で、底角 ∠OAB と ∠OBA は等しくなります。(180 − 100) ÷ 2 ＝ 40° です。
つまずいたら → 「半径どうしは等しいので二等辺三角形ができる」（本ページ なぜ中心角の半分になるのか）に戻りましょう。
よくある質問
Q. 円周角の定理とは何ですか？
「1つの弧に対する円周角は、その弧に対する中心角の半分である」「同じ弧に対する円周角はすべて等しい」という2つの性質です。中学3年で学びます。
Q. なぜ円周角は中心角の半分になるのですか？
中心Oと円周上の点Pを結ぶと、半径どうしが等しいので二等辺三角形ができます。その外角は底角の2倍になり、これを左右で合わせると中心角が円周角の2倍になるからです。
Q. 直径に対する円周角はなぜ90°ですか？
直径は半円の弧で、中心角が180°にあたります。円周角はその半分なので 180 ÷ 2 ＝ 90° です。直径を1辺とし円周上に頂点がある三角形は、必ず直角三角形になります。
Q. 円周角の定理の逆とは何ですか？
「2点P・Qが直線ABの同じ側にあり、∠APB ＝ ∠AQB ならば、4点A・B・P・Qは同じ円周上にある」という性質です。4つの点が1つの円の上にあるかどうかを調べるときに使います。
次に学ぶ内容
中学校数学（第3学年「円」）の範囲を参照し、オリジナルに作成（実在試験問題の転載はありません）。正確性は編集方針にそって確認しています。