三平方の定理：a²＋b²＝c²
三平方の定理（ピタゴラスの定理）とは、直角三角形で a²＋b²＝c² が成り立つという定理です。a・b は直角をはさむ2辺、c は斜辺（直角の向かいにある、いちばん長い辺）。たとえば 3²＋4²＝9＋16＝25＝5² なので、辺 3・4・5 の三角形は直角三角形です。
このページで学べること
- 三平方の定理の意味と使い方がわかる
- 斜辺（c）や残りの辺（a・b）を計算で求められる
- 正方形の対角線（√2倍）を求められる
- 「逆」を使って直角三角形かどうか判定できる
前提知識
定理の使い方：どの辺を求めるか
三平方の定理は「2辺が分かれば残りの1辺が求まる」道具です。求めたい辺に合わせて式を変形します。
- 斜辺を求める：c＝√(a²＋b²)
- 他の辺を求める：a＝√(c²−b²)（斜辺の2乗から引く）
- 直角の判定（逆）：a²＋b²＝c² が成り立てば直角三角形
覚えておくと便利な組み合わせ（ピタゴラス数）：3・4・5、5・12・13、8・15・17。この比の三角形はすべて直角三角形です。また、1辺が 1 の正方形の対角線は √(1²＋1²)＝√2 になります。
1辺が a＋b の大きな正方形を考えます。その中に、直角をはさむ辺が a と b の直角三角形を4つ、風車のように並べると、まん中に1辺 c の正方形ができます。
大きな正方形の面積は (a＋b)²。中身は「三角形4つ（1つが a×b÷2 なので合計 2ab）」と「まん中の正方形 c²」です。つまり (a＋b)² ＝ 2ab ＋ c²。左辺を展開すると a² ＋ 2ab ＋ b² なので、両辺から 2ab を消すと a² ＋ b² ＝ c²。同じ面積を2通りに数えているだけで、不思議な式ではありません。
図でイメージする
4² ＋ 3² ＝ 16 ＋ 9
＝ 25 ＝ 5²
例題（くわしい手順）
例題1：長方形の対角線を求める
たて 6cm・よこ 8cm の長方形の対角線の長さを求めます。
- 直角三角形を見つける：対角線は、たて6・よこ8を2辺とする直角三角形の斜辺。
- 定理にあてはめる：c＝√(6²＋8²)＝√(36＋64)＝√100。
- √100＝10。対角線は 10cm。
- 確かめる：6² ＋ 8² ＝ 36 ＋ 64 ＝ 100 で、10² ＝ 100 と一致します。
長方形の対角線・ななめの距離は「直角三角形の斜辺」と見なせば三平方の定理で求まります。
例題2：斜辺から他の辺を求める
斜辺が 13cm、直角をはさむ1辺が 5cm の直角三角形の、残りの辺の長さを求めます。
- どれが斜辺かを確かめる：13cm が斜辺（直角の向かいにある、いちばん長い辺）です。
- 式を立てる：5² ＋ b² ＝ 13² なので 25 ＋ b² ＝ 169。
- 引く：169 − 25 ＝ 144 なので b² ＝ 144、b ＝ 12cm。
- 確かめる：5・12・13 は覚えておきたいピタゴラス数の組です。
斜辺を求めるときはたし算、他の辺を求めるときはひき算。どの辺が斜辺かを先に決めるのが、いちばん大事な一歩です。
三平方の定理と「逆」の違い
| 使い方 | 分かっていること | 分かること |
|---|---|---|
| 定理 | 直角三角形である | a²＋b²＝c² が成り立つ（辺が求まる） |
| 逆 | 3辺の長さ | a²＋b²＝c² なら直角三角形と判定できる |
「辺を求める」ときは定理、「直角かどうか確かめる」ときは逆を使います。
よくある間違い
c は直角の向かい側にある、いちばん長い辺です。直角をはさむ2辺を c にすると計算が合いません。
√(3²＋4²)＝√25＝5 です。3＋4＝7 ではありません。2乗の和を先に計算してから√をとります。
三平方の定理が使えるのは直角三角形だけ。まず直角があるかを確かめましょう。
練習問題
まず自分で解いてから解説を開きましょう。
直角をはさむ2辺が 5cm と 12cm の直角三角形の斜辺を求めなさい。
解答・解説を見る
1辺が 1 の正方形の対角線の長さを求めなさい。
解答・解説を見る
答え：√2
対角線＝√(1²＋1²)＝√2（約1.41）。
直角をはさむ2辺から斜辺を求める三平方の定理（a²＋b²＝c²）です。1＋1＝2 が「対角線の2乗」なので、答えは√2 になります。
つまずいたら → 「1辺1の正方形の対角線は √2」（本ページ 定理の使い方：どの辺を求めるか）に戻りましょう。
斜辺が 10cm、1辺が 6cm の直角三角形の残りの辺を求めなさい。
解答・解説を見る
3辺が 8・15・17 の三角形は直角三角形ですか。
解答・解説を見る
答え：直角三角形である
8²＋15²＝64＋225＝289＝17²。定理の逆より直角三角形です。
つまずいたら → 「a²＋b²＝c² が成り立てば直角三角形」（本ページ 定理の使い方：どの辺を求めるか）に戻りましょう。
よくある質問
Q. 三平方の定理とは？
直角三角形で、直角をはさむ2辺を a・b、斜辺（いちばん長い辺）を c とすると a²＋b²＝c² が成り立つ定理です。ピタゴラスの定理ともいいます。
Q. 斜辺はどうやって求める？
c＝√(a²＋b²) で求めます。たとえば a＝3、b＝4 なら c＝√(9＋16)＝√25＝5 です。
Q. 三平方の定理はどんな三角形でも使えますか？
直角三角形だけです。まず直角があるかを確かめます。逆に a²＋b²＝c² が成り立てば、その三角形は直角三角形だといえます。
Q. 覚えておくと便利な辺の組は？
3・4・5、5・12・13、8・15・17、7・24・25 です。その倍（6・8・10 など）も直角三角形になります。
次に学ぶ内容
小学校算数〜中学数学の範囲を参照し、オリジナルに作成（実在試験問題の転載はありません）。正確性は編集方針にそって確認しています。