三平方の定理：a²＋b²＝c²
三平方の定理（ピタゴラスの定理）とは、直角三角形で a²＋b²＝c² が成り立つという定理です。a・b は直角をはさむ2辺、c は斜辺（直角の向かいにある、いちばん長い辺）。たとえば 3²＋4²＝9＋16＝25＝5² なので、辺 3・4・5 の三角形は直角三角形です。
このページで学べること
- 三平方の定理の意味と使い方がわかる
- 斜辺（c）や残りの辺（a・b）を計算で求められる
- 正方形の対角線（√2倍）を求められる
- 「逆」を使って直角三角形かどうか判定できる
前提知識
定理の使い方：どの辺を求めるか
三平方の定理は「2辺が分かれば残りの1辺が求まる」道具です。求めたい辺に合わせて式を変形します。
- 斜辺を求める：c＝√(a²＋b²)
- 他の辺を求める：a＝√(c²−b²)（斜辺の2乗から引く）
- 直角の判定（逆）：a²＋b²＝c² が成り立てば直角三角形
覚えておくと便利な組み合わせ（ピタゴラス数）：3・4・5、5・12・13、8・15・17。この比の三角形はすべて直角三角形です。また、1辺が 1 の正方形の対角線は √(1²＋1²)＝√2 になります。
図でイメージする
4² ＋ 3² ＝ 16 ＋ 9
＝ 25 ＝ 5²
例題（くわしい手順）
たて 6cm・よこ 8cm の長方形の対角線の長さを求めます。
- 直角三角形を見つける：対角線は、たて6・よこ8を2辺とする直角三角形の斜辺。
- 定理にあてはめる：c＝√(6²＋8²)＝√(36＋64)＝√100。
- √100＝10。対角線は 10cm。
長方形の対角線・ななめの距離は「直角三角形の斜辺」と見なせば三平方の定理で求まります。
三平方の定理と「逆」の違い
| 使い方 | 分かっていること | 分かること |
|---|---|---|
| 定理 | 直角三角形である | a²＋b²＝c² が成り立つ（辺が求まる） |
| 逆 | 3辺の長さ | a²＋b²＝c² なら直角三角形と判定できる |
「辺を求める」ときは定理、「直角かどうか確かめる」ときは逆を使います。
よくある間違い
c は直角の向かい側にある、いちばん長い辺です。直角をはさむ2辺を c にすると計算が合いません。
√(3²＋4²)＝√25＝5 です。3＋4＝7 ではありません。2乗の和を先に計算してから√をとります。
三平方の定理が使えるのは直角三角形だけ。まず直角があるかを確かめましょう。
練習問題
まず自分で解いてから解説を開きましょう。
直角をはさむ2辺が 5cm と 12cm の直角三角形の斜辺を求めなさい。
解答・解説を見る
答え：13cm
c＝√(5²＋12²)＝√(25＋144)＝√169＝13cm。
1辺が 1 の正方形の対角線の長さを求めなさい。
解答・解説を見る
答え：√2
対角線＝√(1²＋1²)＝√2（約1.41）。
直角をはさむ2辺から斜辺を求める三平方の定理（a²＋b²＝c²）です。1＋1＝2 が「対角線の2乗」なので、答えは√2 になります。
斜辺が 10cm、1辺が 6cm の直角三角形の残りの辺を求めなさい。
解答・解説を見る
答え：8cm
b＝√(10²−6²)＝√(100−36)＝√64＝8cm。
3辺が 8・15・17 の三角形は直角三角形ですか。
解答・解説を見る
答え：直角三角形である
8²＋15²＝64＋225＝289＝17²。定理の逆より直角三角形です。
よくある質問
Q. 三平方の定理とは？
直角三角形で、直角をはさむ2辺を a・b、斜辺（いちばん長い辺）を c とすると a²＋b²＝c² が成り立つ定理です。ピタゴラスの定理ともいいます。
Q. 斜辺はどうやって求める？
c＝√(a²＋b²) で求めます。たとえば a＝3、b＝4 なら c＝√(9＋16)＝√25＝5 です。
Q. 三平方の定理はどんな三角形でも使えますか？
直角三角形だけです。まず直角があるかを確かめます。逆に a²＋b²＝c² が成り立てば、その三角形は直角三角形だといえます。
Q. 覚えておくと便利な辺の組は？
3・4・5、5・12・13、8・15・17、7・24・25 です。その倍（6・8・10 など）も直角三角形になります。
次に学ぶ内容
小学校算数〜中学数学の範囲を参照し、オリジナルに作成（実在試験問題の転載はありません）。正確性は編集・監修フローで確認しています（仕様書 第11章）。