平方根：2乗するとその数になる数
平方根とは、2乗するとその数になる数のこと。9の平方根は ＋3 と −3（3×3も(−3)×(−3)も9）。記号 √（ルート）は正の平方根を表し、√9＝3 と書きます。
このページで学べること
- 平方根の意味と、平方（2乗）との関係がわかる
- √（ルート）の読み方・使い方がわかる
- √50＝5√2 のように √ を簡単にできる
- 分母の √ を消す（有理化）ができる
前提知識
√（ルート）の使い方の基本
「2乗すると a になる正の数」を √a と書きます。たとえば 4＝2² だから √4＝2、9＝3² だから √9＝3。2乗して整数になる数（1,4,9,16,25…）を 平方数といいます。
- √a × √b ＝ √(a×b)（例：√2×√3＝√6）
- √(a²) ＝ a（a が0以上のとき）
- (√a)² ＝ a（例：(√5)²＝5）
√の中に平方数がかくれているときは、外に出して簡単にします。√12＝√(4×3)＝2√3。逆に有理化では、分母の√を消します：1/√2＝√2/2（分母・分子に√2をかける）。
√12 は「2乗すると12になる正の数」です。12 を 4 × 3 と分けると、4 は 2² なので √12 ＝ √4 × √3 ＝ 2 × √3 と書けます。
こうできるのは √a × √b ＝ √(a×b) という決まりがあるからで、これも「2乗すると a×b になる数」を確かめれば納得できます。実際 (2√3)² ＝ 2² × (√3)² ＝ 4 × 3 ＝ 12。√の中の平方数を外に出しているだけで、数の大きさそのものは変わっていません。
図でイメージする
面積 9 → 1辺 √9 ＝ 3
例題（くわしい手順）
例題1：√を簡単にする
√50 を、できるだけ簡単な形にします。
- 中身を分解：50＝25×2（25は平方数＝5²）。
- 2乗の数を外へ：√50＝√25×√2＝5×√2。
- 答えは 5√2。
- 確かめる：(5√2)² ＝ 5² × (√2)² ＝ 25 × 2 ＝ 50 となり、もとの √50 に戻ります。
√の中に平方数（4,9,16,25…）がかくれていないか探すのがコツです。
例題2：分母の√を消す（有理化）
6/√3 を、分母に√がない形に直します。
- 分母と分子に同じ数をかける：分母の √3 を消したいので、両方に √3 をかけます（大きさは変わりません）。
- 分母を計算する：√3 × √3 ＝ 3。分子は 6 × √3 ＝ 6√3。
- 約分する：6√3 ÷ 3 なので 2√3。
- 確かめる：√3 ≒ 1.73 とすると、6 ÷ 1.73 ≒ 3.47、2 × 1.73 ＝ 3.46。ほぼ同じ値です。
有理化は「分母と分子に同じ数をかけても大きさは変わらない」という分数の性質を使っているだけです。分母に√が残っていると大きさの見当がつけにくいので、消しておきます。
平方（2乗）と平方根の違い
| 用語 | 意味 | 例 |
|---|---|---|
| 平方（2乗） | 同じ数を2回かける | 3²＝9 |
| 平方根 | 2乗するとその数になる数 | 9の平方根は±3、√9＝3 |
平方根は「2乗の逆」の操作です。√9＝3 は正の方だけ、「9の平方根」は ±3 の2つを指します。
よくある間違い
√ は正の平方根を表す記号なので √9＝3。±3 になるのは「9の平方根」と問われたときです。
√(3²＋4²)＝√25＝5 であって、3＋4＝7 ではありません。√の中は先に計算します。
(√2)²＝2 です（2乗と√は打ち消し合う）。√4＝2 とは考え方がちがいます。
練習問題
まず自分で解いてから解説を開きましょう。
√36 の値を求めなさい。
解答・解説を見る
答え：6
36＝6² なので √36＝6。
√は「2乗するとその数になる正の数」です。36÷2＝18 ではありません。かけて36になる同じ数（6×6）を探します。
つまずいたら → 「√a は2乗すると a になる正の数」（本ページ √（ルート）の使い方の基本）に戻りましょう。
√8 を簡単にしなさい。
解答・解説を見る
答え：2√2
8＝4×2（4は平方数）。√8＝√4×√2＝2√2。
√の中を「平方数 × 残り」に分けるのがコツです。平方数（4・9・16…）を外に出せます。√8＝2√2 と 2×√2 は同じ意味です。
つまずいたら → 「√の中の平方数を外に出す」（本ページ 例題1）に戻りましょう。
√3 × √12 を計算しなさい。
解答・解説を見る
答え：6
√3×√12＝√(3×12)＝√36＝6。
√a × √b ＝ √(ab)。中身をかけてから、平方数を探して外に出します。√3×√12＝√36＝6 と整数になりました。
つまずいたら → 「√a × √b ＝ √(a×b)」（本ページ √（ルート）の使い方の基本）に戻りましょう。
(√5)² ＋ √16 を計算しなさい。
解答・解説を見る
答え：9
(√5)²＝5、√16＝4。5＋4＝9。
(√a)² ＝ a（2乗すると√が外れる）。√16 は 16÷2＝8 ではなく、2乗して16になる数（4）です。
つまずいたら → 「(√a)² ＝ a」（本ページ よくある間違い③）に戻りましょう。
よくある質問
Q. √9 はいくつ？
√9＝3 です。√は正の平方根を表す記号なので答えは3。ただし「9の平方根」と言われたら、2乗して9になる数は＋3と−3の2つです。
Q. √50 はどう簡単にする？
√50＝√(25×2)＝√25×√2＝5√2 です。中身を「2乗の数×残り」に分け、2乗の数を√の外に出します。
Q. √2 はなぜ小数で書き切れないのですか？
分数で表せない数（無理数）で、小数が終わらず繰り返しもしないからです。1.41421356… と続くので、ふつうは√2のまま扱います。
Q. √a＋√b は √(a＋b) にできますか？
できません。√2＋√3 は √5 ではありません。まとめられるのはかけ算とわり算（√2×√3＝√6）だけです。
次に学ぶ内容
小学校算数〜中学数学の範囲を参照し、オリジナルに作成（実在試験問題の転載はありません）。正確性は編集方針にそって確認しています。