等式の変形：求めたい文字が「＝」の左に1つだけ残るように直す
等式の変形とは、等式を「求めたい文字 ＝ 〜」の形に直すこと（その文字について解く）です。やり方は方程式と同じで、その文字をふくむ項を左辺に残して移項し、係数で両辺をわります。答えは数ではなく式になります。
このページで学べること
- 「○○について解く」の意味がわかる
- 移項と係数でわる手順で等式を変形できる
- 面積などの公式を変形できる
- 方程式との違いがわかる
前提知識
「○○について解く」は方程式と同じ手順
等式を「求めたい文字 ＝ 〜」の形に直すことを、その文字について解くといいます。たとえば 2x ＋ y ＝ 10 を y について解くと y ＝ −2x ＋ 10 です。
- 解きたい文字をふくむ項を左辺に、それ以外を右辺に移項する（符号が変わる）。
- 解きたい文字の係数で両辺をわる（または両辺に同じ数をかける）。
- 左辺が「その文字だけ」になったか確かめる。
等式には「両辺に同じことをしても等しいまま」という性質があります。これは数でも文字でも同じです。2x ＋ y ＝ 10 の両辺から 2x をひけば y ＝ 10 − 2x、つまり移項です。
方程式では最後に「x ＝ 3」のように数が残りますが、等式の変形では「y ＝ −2x ＋ 10」のように式が残ります。やっている操作は同じで、答えの形がちがうだけです。
図でイメージする（2x ＋ y ＝ 10 を y について解く）
例題（くわしい手順）
例題1：係数のある文字について解く
3x − 2y ＝ 6 を y について解きましょう。
- 移項：3x を右辺へ。−2y ＝ 6 − 3x
- 係数でわる：両辺を −2 でわる。y ＝ (6 − 3x) ÷ (−2) ＝ 3/2 x − 3
- 確かめる：x ＝ 4 のとき、もとの式は 12 − 2y ＝ 6 で y ＝ 3。変形した式も 3/2 × 4 − 3 ＝ 3 で同じです。
−2 でわるときは、右辺のすべての項をわります（6 ÷ (−2) ＝ −3、−3x ÷ (−2) ＝ 3/2 x）。
例題2：公式を変形する
三角形の面積の公式 S ＝ (1/2)ah を h について解きましょう（a は底辺、h は高さ）。
- 左右を入れかえる：(1/2)ah ＝ S
- 両辺に2をかける：ah ＝ 2S
- 両辺を a でわる：h ＝ 2S ÷ a（h ＝ 2S/a）
- 確かめる：底辺6cm・面積12cm² なら h ＝ 2 × 12 ÷ 6 ＝ 4cm。(1/2) × 6 × 4 ＝ 12 で合っています。
例題1は数をふくむ式、例題2は公式の変形です。公式を変形できると「面積と底辺から高さ」のように、別の量を求める式がすぐ作れます。
方程式と等式の変形の違い
| 方程式 | 等式の変形 | |
|---|---|---|
| 文字の数 | ふつう1つ（x） | 2つ以上（x と y、a と h など） |
| 使う操作 | 移項・両辺を同じ数でわる | 同じ（移項・両辺を同じ数や文字でわる） |
| 答えの形 | 数（x ＝ 3） | 式（y ＝ −2x ＋ 10） |
よくある間違い
2x ＋ y ＝ 10 を y について解くとき、y ＝ 10 ＋ 2x としてしまう誤り。移項した項は必ず符号が変わるので y ＝ 10 − 2x です。
−2y ＝ 6 − 3x を y ＝ −3 − 3x としてしまう誤り。右辺の6も −3x も両方 −2 でわります（y ＝ −3 ＋ 3/2 x）。
「y ＝ 10 − 2x − y」のように右辺に y が残っていたら、まだ解けていません。解く文字は左辺に1つだけになるまで移項します。
練習問題
まず自分で解いてから解説を開きましょう。
x ＋ 3y ＝ 12 を x について解きなさい。
解答・解説を見る
答え：x ＝ −3y ＋ 12
3y を右辺へ移項すると x ＝ 12 − 3y、つまり x ＝ −3y ＋ 12 です。
つまずいたら → 「移項した項は符号が変わる」（本ページ よくある間違い①）に戻りましょう。
4x − y ＝ 8 を y について解きなさい。
解答・解説を見る
答え：y ＝ 4x − 8
4x を移項して −y ＝ 8 − 4x。両辺に −1 をかけて y ＝ 4x − 8 です。
つまずいたら → 「係数が −1 なら両辺の符号を変える」（本ページ 例題1）に戻りましょう。
直方体の体積の公式 V ＝ abh を h について解きなさい。
解答・解説を見る
答え：h ＝ V ÷ (a × b)
両辺を ab でわると h ＝ V ÷ (a × b)（h ＝ V/ab）です。
つまずいたら → 「公式も両辺を同じ式でわる」（本ページ 例題2）に戻りましょう。
長方形の周の長さの公式 ℓ ＝ 2(a ＋ b) を a について解きなさい。
解答・解説を見る
答え：a ＝ ℓ ÷ 2 − b
両辺を2でわると ℓ ÷ 2 ＝ a ＋ b。b を移項して a ＝ ℓ ÷ 2 − b です。
つまずいたら → 「かっこの外の数で先に両辺をわる」（本ページ 例題2）に戻りましょう。
よくある質問
Q. 等式の変形とは何ですか？
等式を「求めたい文字 ＝ 〜」の形に直すことです。「y について解く」「h について解く」のようにいいます。方程式と同じ手順（移項・両辺を同じ数でわる）を使います。
Q. 「〜について解く」とはどういう意味ですか？
その文字が等号の左側に1つだけある形にすることです。たとえば 2x ＋ y ＝ 10 を y について解くと y ＝ −2x ＋ 10 になります。
Q. 方程式とどう違いますか？
操作は同じですが、方程式は答えが数（x ＝ 3）になり、等式の変形は答えが式（y ＝ −2x ＋ 10）になります。文字が2つ以上ある等式で使います。
Q. 等式の変形は何に使いますか？
公式から別の量を求める式を作るとき（面積と底辺から高さを出すなど）や、連立方程式の代入法、一次関数を y ＝ ax ＋ b の形に直すときに使います。
次に学ぶ内容
中学校数学（第2学年「式の計算」）の範囲を参照し、オリジナルに作成（実在試験問題の転載はありません）。正確性は編集方針にそって確認しています。