展開と因数分解：かっこをはずす／積に戻す
展開はかっこをはずして和の形にすること、因数分解はその逆で積（かけ算）の形に戻すことです。たとえば (x＋2)(x＋3)＝x²＋5x＋6（展開）、x²＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)（因数分解）。
このページで学べること
- 分配法則で式を展開できる
- 乗法公式 (x＋a)(x＋b)＝x²＋(a＋b)x＋ab が使える
- かけて・たしての考え方で因数分解できる
- 展開と因数分解が逆の操作だとわかる
前提知識
展開のもと：分配法則
展開の土台は 分配法則 a(b＋c)＝ab＋ac です。かっこの外の数（や文字）を、中のすべての項にかけます。2つのかっこの積は、次の 乗法公式が便利です。
- (x＋a)(x＋b) ＝ x²＋(a＋b)x＋ab
- (x＋a)² ＝ x²＋2ax＋a²
- (x＋a)(x−a) ＝ x²−a²（和と差の積）
因数分解は、この逆をたどります。x²＋5x＋6 なら「かけて6・たして5」になる2数（2と3）を見つけて (x＋2)(x＋3) と書きます。
展開は分配法則を2回使っているだけです。(x＋a)(x＋b) では、前のかっこの x と a が、それぞれ後ろのかっこ全体にかかります。
計算すると x × x ＝ x²、x × b ＝ bx、a × x ＝ ax、a × b ＝ ab。このうち x の項が2つ（bx と ax）出てくるので、まとめると (a＋b)x。だから公式の真ん中は「たした数」、最後は「かけた数」になります。因数分解はこの逆をたどるので、「かけて ab・たして a＋b」になる2数を探すことになるわけです。
図でイメージする
合計 ＝ x²＋3x＋2x＋6 ＝ x²＋5x＋6
例題（くわしい手順）
例題1：2つのかっこの積を展開する
(x＋2)(x＋3) を展開します。
- 1つずつかける：x×x＝x²、x×3＝3x、2×x＝2x、2×3＝6。
- 同類項をまとめる：3x＋2x＝5x。
- 答えは x²＋5x＋6。
- 確かめる：x に 1 を入れると、もとの式は (1＋2)(1＋3) ＝ 12、答えの式は 1 ＋ 5 ＋ 6 ＝ 12。一致します。
「前×前・外・内・後」の順にかけ、真ん中（xの項）をまとめると公式どおりになります。
例題2：因数分解する
x² ＋ 7x ＋ 12 を因数分解します。
- 探すものをはっきりさせる：かけて 12、たして 7 になる2つの数です。
- かけて12になる組を並べる：1と12（和13）、2と6（和8）、3と4（和7）。
- 和が7の組を選ぶ：3 と 4。よって (x＋3)(x＋4)。
- 確かめる：展開して確認します。x² ＋ 4x ＋ 3x ＋ 12 ＝ x² ＋ 7x ＋ 12 でもとに戻ります。
探すのはかけ算が先です。積になる組は数が少ないので、先に並べてから和を見るほうが速く確実に見つかります。
展開と因数分解の違い
| 操作 | 向き | 例 |
|---|---|---|
| 展開 | 積 → 和（かっこをはずす） | (x＋2)(x＋3) → x²＋5x＋6 |
| 因数分解 | 和 → 積（かっこにまとめる） | x²＋5x＋6 → (x＋2)(x＋3) |
2つは正反対の操作。展開した式をもう一度因数分解すると、元のかっこの形に戻ります。
よくある間違い
(x＋3)²＝x²＋2×3×x＋3²＝x²＋6x＋9。真ん中の 6x を忘れやすいので注意。
x²−x−6 は「かけて−6・たして−1」＝−3と2 なので (x−3)(x＋2)。符号の組み合わせに注意します。
2x²＋4x は、まず共通の 2x でくくって 2x(x＋2)。いきなり公式を使う前に共通因数を確認します。
練習問題
まず自分で解いてから解説を開きましょう。
(x＋4)(x−1) を展開しなさい。
解答・解説を見る
x²＋7x＋12 を因数分解しなさい。
解答・解説を見る
(x＋5)² を展開しなさい。
解答・解説を見る
答え：x²＋10x＋25
公式 (x＋a)²＝x²＋2ax＋a²。2×5＝10、5²＝25。x²＋10x＋25。
つまずいたら → 「(x＋a)² ＝ x²＋2ax＋a²」（本ページ 展開のもと：分配法則）に戻りましょう。
x²−9 を因数分解しなさい。
解答・解説を見る
答え：(x＋3)(x−3)
9＝3² なので和と差の積の形：x²−3²＝(x＋3)(x−3)。
つまずいたら → 「(x＋a)(x−a) ＝ x²−a²（和と差の積）」（本ページ 展開のもと：分配法則）に戻りましょう。
よくある質問
Q. 展開と因数分解のちがいは？
展開はかっこをはずして和の形にすること（(x＋2)(x＋3)→x²＋5x＋6）、因数分解はその逆で積の形に戻すこと（x²＋5x＋6→(x＋2)(x＋3)）です。
Q. x²＋5x＋6 はどう因数分解する？
かけて6・たして5になる2数を探します。2と3なので (x＋2)(x＋3) です。
Q. 因数分解できるかどうかはどう見分けますか？
「かけて定数項・たしてxの係数」になる整数の組をさがします。見つからなければ因数分解できないので、解の公式などを使います。
Q. 共通因数はいつ先にくくり出しますか？
いつでも最初にします。2x²＋4x は 2x(x＋2)。共通因数を残したまま公式を使おうとすると、うまく分解できません。
次に学ぶ内容
小学校算数〜中学数学の範囲を参照し、オリジナルに作成（実在試験問題の転載はありません）。正確性は編集方針にそって確認しています。